教育研究所ARCS

チョット真面目に数学の話~想像力~

教育・子育て

イメージ力を鍛える

数学動画を配信する予定が、撮ってみたらイケてない…。
というワケで方向性を再検討して撮り直しとなりました。

仕方ないので今月はこのブログで私がちょっと考えた問題を。
しっかり考えたい人は一番最後の解答を見ないように、慎重にスクロールして下さいね。

【問い】立方体があります。ある面から包丁の刃を入れ、底面が直角二等辺三角形になるような三角柱をこの立方体から切り取ります。切断回数が1回のときは右のような図になります。では、残りの2つの面からも同じように切断したとき、最終的にどんな立体になりますか。その立体を描きましょう。

図形数学問題

※スクロール対策用CM

池村チャレンジ近日公開

想像だけでなく理屈も大事

想像できましたか?
豆腐あたりを実際に切ってみれば話は早いのですが、それでは反則になってしまうので、実験は後でのお楽しみにしておきましょう。

もし、下図のように考えた人がいたら、惜しい!

150217-3

どちらも「平面と平面が交わると直線になる」という点では間違えてはいません。
例えば本を開くと左ページと右ページの境目が直線になりますよね。そういう意味です。

150217-4

しかし左図は何か変な感じがします。
それは「対称性」が失われているからでしょう。
平等な3方向から削っているのに、下から削った部分の面積だけが一人だけ幅を利かせています。
でも本来ならば、120°ずつ回転させても全く同じ様子に見えないとおかしいのです。それが対称ということです。

右の図は、対称性は保たれています。
ただし、このように三つ巴になった部分が正三角形になっていると、実はちょっと余計に削ってしまっていることになります。

さてさて、「そもそもまったく想像つかん…」という人も多いでしょう。
なかなか考えづらいのは、3方向から同時に削った様子をいきなり想像しようとするからです。
そこで順を追って考えてみます。
まずは2回切断したときの形を考えてみるわけです。
それがこれ。

150217-6

これなら想像しやすいでしょう。
そして注目ポイントは赤く囲んだ部分。
つまりその様子こそが、その左右2方向から削ったときに見える姿なのです。
ここでフィニッシュとして下から削ります。
そのとき青く囲んだ部分に、やはり同じような姿が見られるはずです。それが対称性というやつなのです。
よって正解は下の図になります。

150217-7

いかがでしたでしょうか。
「ホントにそうなるの?」という人は豆腐や消しゴムを切ってみましょう。
ぜひご家庭でも話題にしてみて下さい。

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